岩手県立総合教育センター研究集録（2001）
高等学校数学科における数学的な思考力を高める学習指導に関する研究
－作成した問題を班で検討する活動をとおして－
岩手県立久慈高等学校 教諭 瀬 戸 睦 宏
Ⅰ 研究目的
高等学校の数学教育では、数学的な見方や考え方のよさを認識し、数学的な思考力を高めることが求められている。そのため、数学科の学習指導では、単に知識、技能の習得に終わるのではなく、学習した知識、考え方をいろいろ組み合わせて発展させていくことを中心とした指導が必要である。
しかし、本校生徒の実態は、与えられた課題に対して真面目に取り組むが、授業のなかで指導した一つの解決方法のみで満足してしまい、自分で考え、既習事項を活用しようとするところまでには高まっていない。これは、教師主導型の指導をしがちで、問題解決の過程において用いられた知識を自分なりに発展させるような指導が十分でなかったためと考えられる。
このような状況を改善するためには、生徒が既習の知識や考え方を整理し、例題から問題をつくり、班で問題解決方法を検討する活動を取り入れた指導を工夫し、数学的な思考力を高めていくことが必要であると考える。
そこで、この研究は、数学科の指導において、作成した問題を班で検討する活動を取り入れた授業実践をとおして、数学的な思考力を高める学習指導の在り方を明らかにし、高等学校における数学科の学習指導の改善に役立てようとするものである。
Ⅱ 研究仮説
高等学校数学科の学習指導において、学習をまとめる段階で、作成した問題を班で検討する活動を取り入れた指導を次のように行えば、数学的な思考力を高めることができるであろう。
(1） 生徒が既習の知識や考え方を整理する。
(2） 教師の提示した例題から生徒が問題をつくる。
(3) 作成した問題を班で分類し、分類の観点をまとめ、分類した問題と解決方法の対応を検討する。
Ⅲ 研究の内容と方法
１ 研究の内容
(1） 高等学校数学科における数学的な思考力を高める学習指導についての基本構想の立案
(2） 高等学校数学科における数学的な思考力を高める学習指導についての指導試案の作成
(3） 数学Ⅱにおける単元「微分法」の学習指導案の作成
(4） 数学Ⅱにおける単元「微分法」の授業実践
(5） 実践結果の分析と考察
(6） 高等学校数学科における数学的な思考力を高める学習指導の在り方についてのまとめ
２ 研究の方法
(1) 文献法 (2) 質問紙法 (3) テスト法 (4) 授業実践
３ 授業実践の対象
岩手県立久慈高等学校 第２学年 １学級 (男子25名 女子17名 計42名)
Ⅳ 研究結果の分析と考察
１ 高等学校数学科における数学的な思考力を高める学習指導についての基本構想
（1） 数学的な思考力を高める学習指導についての基本的な考え方
ア 数学的な思考力の意味
数学科の指導は、数学的な方法や考え方を身に付けることを目標として行わなければならない。また、単に知識、技能があるだけでは問題を解決できないことから、習得した知識、技能をその後の学習に生かすとともに、問題の構造を把握し、問題解決の方向をとらえ、問題解決に必要な既習事項を選択し、考えを進める力、すなわち、数学的な思考力が必要と考える。
そこで本研究では、数学的な思考力を、主に「解決の方向を見通す力」と「解決の方法を追究する力」の二つの力から構成されているととらえ、それぞれ以下のような意味をもつものとする。
これら二つの構成要素が高まり、数学的な思考力が高まった姿を「問題の構造を把握し、問題解決の方向をとらえ、問題解決に必要な既習事項を選択し、考えを進めることができる」ことととらえる。
イ 数学的な思考力を高めることの意義
生徒は、高校生の時期に、様々な問題を自ら適切に判断し、解決していく力を高めていかなければならない。そこで、これからの数学科の学習においては、単に知識として理解をさせるのではなく、問題の構造を把握し、既習の知識や考え方を生かしながら、問題解決を進めていく能力を高めていくことが大切であると考える。そのことによって、生徒は問題に対し、適切な判断をし、望ましい解決方法を選択できることにつながるものとして意義があると考える。
ウ 作成した問題を班で検討する活動を行うことの意義
本研究では、数学的な思考力を高めるための手だてとして、作成した問題を班で検討する活動を取り入れることとした。このことは、数学的な思考力を高めるうえで、次のような点で意義があると考える。また、「まとめる」段階に、作成した問題を班で検討する活動を取り入れることは、学習内容を自分なりにまとめるうえで友だちの考えと自分の考えを比較し、よい点を取り入れることができるなどの意義があると考える。
(ｱ) 班で作成した問題を分類する観点を、的確さ・簡潔さ・明瞭さなどにより比較、検討し、一人では気づかなかったことにも気づかせることができる。 (ｲ) 班で検討したことを見直し、自分の考えや異なる考えを自分で再度検討したうえで、よいと思う考えを選択し、問題解決に適応させることができる。
エ 作成した問題を班で検討する活動を取り入れた学習指導の展開
数学的な思考力を高めるための小単元及び単元の学習指導の展開は「つかむ」「見通す」「確かめる」「まとめる」の四段階とする。これらの段階の学習活動によって数学的な思考力が高まるものと考える。本研究では、特に、小単元及び単元の「まとめる」段階に、作成した問題を班で検討する活動を取り入れることが、数学的な思考力を高めるために効果があると考えて次のような学習活動を行う。
(2) 数学的な思考力を高める学習指導についての基本構想図
これまで述べてきた数学的な思考力を高める学習指導についての基本構想をまとめたものが、下の【図－１】の基本構想図である。
２ 高等学校数学科における数学的な思考力を高める学習指導についての指導試案
(1) 実態調査から明らかになったこと
指導試案作成にあたって、生徒の学習に対する意識の実態を把握するとともに、数学Ⅱの単元「微分法」の学習内容に関するレディネスの状況を調べるため、実態調査を実施した。その結果から、次の点について明らかにすることができた。
ア 問題点
(ｱ) 班などのグループで話し合うことに関しては、学級全体の47％の生徒がマイナス反応を示している。 (ｲ) 単元の学習内容のレディネスの状況は良好であるが、基本的な問題である２次方程式を正確に解くことができない生徒がいる。 イ 課題
(ｱ) 「つかむ」「見通す」「確かめる」の段階では、場面に応じて、ペアなどで話し合うことを取り入れる必要がある。 (ｲ) 作成した問題を班で検討する活動をするとき、生徒が安心して話し合いができるような班をつくる必要がある。 (ｳ) 基本的な既習の知識や考え方については確認できるような指導を進めていく必要がある。
(2) 作成した問題を班で検討する活動を取り入れた学習指導過程試案
数学Ⅱにおける単元「微分法」の学習指導において、作成した問題を班で検討する活動を取り入れた学習指導過程試案を示したものが【表－１】である。
(3) 検証計画の概要
授業実践をとおして指導試案の妥当性をみるために、下の【表－２】のような検証計画を作成し、事前と事後にテスト及び調査を行い、検証を進めることとした。
３ 数学Ⅱにおける単元「微分法」の授業実践
(1) 能力群の編成
授業実践の対象学級は、岩手県立久慈高等学校２学年理系の１学級で、在籍は42名である。
指導試案に基づく授業実践前後の生徒の学習単元について習得状況の変容をみるために、以下の手順により群を編成した。
在籍生徒のうち、単元テストの事前と事後テストのどちらか一方を欠席した７名を除いた35名について、１学期末考査と夏休み明け課題テストの偏差値の相加平均をもとに、上位群、下位群の２群にわけた。その際、各群の間の比較がより明確に行われるように、上位群と下位群の間の５名を群外とし、上位群と下位群を15名ずつとして群編成を行った。学級及び各能力群において偏差値の平均と標準偏差を示したものが【表－３】である。
(2) 授業実践の期間
平成13年８月23日(木)～９月11日(火) 11日間
(3) 授業実践の概要
単元「微分法」（小単元－関数の増減－、－関数の極大・極小－）のまとめる段階では、３次関数のグラフをもとにした問題について、いろいろな考え方を取り入れながら、解決の方向を見通し、解決の方法を追究することをねらいとした。学習形態は、班での学習を取り入れて進めた。
以下、作成した問題を班で検討する活動の手順にそって、授業実践の一部を示す。
| ア 例題から問題をつくる学習 右の【資料－１】は生徒Ａが例題から問題を実際に作成したものを抜粋したものである。このときの指導においては、生徒の自由な発想で問題をつくることを重視した。生徒Ａは例題から(1)のように係数を変えた問題をつくることだけにとどまっていた。そこで、解くことにはこだわらずに作成してみようという教師の支援をうけて(2)のような３次関数のグラフの平行移動の問題や(3)のような３次関数の最大値や最小値を求める問題などを作成することができるようになった。 |
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| イ 作成した問題を班で分類する学習 右の【資料－２】は作成した問題を班で分類する学習において、班Ｂが分類したものの一部である。 本時は例題から問題をつくる学習で生徒が作成した273問のうち類似した問題をまとめ、生徒が問題を分類する観点を授業時間内にまとめやすくするため46問を取り上げた。 この班は46問の問題のうち、最初の分類では、①のように指示文に着目し、11問の問題をグラフをかくというグループに分類していたが、班員同士で考えを練り合わせ、既習事項を活用することにより、同じようにグラフをかくという問題でも②のように単純にグラフをかくという問題と、③のようにグラフの移動という問題に分類できることに気がつき、最初は一つの観点であった分類が二つの観点による分類になった。 このように、生徒同士いろいろな考え方を練り合わせた結果、この班Ｂは最終的に46問の問題を④のように八つの観点で分類をした。 |
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| ウ 分類した問題と解決方法の対応を検討する学習 右の【資料－３】は班Ｃが分類した問題と解決方法の対応を検討する学習において作成した解決方法である。 この班は、最初に①の解答のように、３次関数のグラフをかき、その後グラフにおける極値をとる点の座標を調べ、平行移動の条件にあてはまるように移動してグラフを作成するという方法を選択し、問題を解決していた。 その後、班員同士で考えを練り合わせて、先に平行移動した式を求め、それからグラフをかく方法もあることに気がつき、解決方法を検討していった結果、②のような解答もできることがわかるようになった。 |
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４ 実践結果の分析と考察
(1) 数学科における数学的な思考力の高まりの状況
ア 数学科における数学的な思考力の高まりの状況
【表－４】から数学科における数学的な思考力の高まりの状況は、学級全体でｔ検定（平均の差の検定）の結果、有意差が認められた。これは、例題から問題を作成する学習で、問題を作成するためには、問題の構造を把握する必要があることを理解したためと思われる。また、作成した問題を分類する学習では、各班で自分たちの考えや話し合いをもとに分類し、その分類の観点を全体の場で意見交流をさせたことによって、生徒は一つの問題に対してもいろいろな考え方があることがわかり、異なる考え方を考慮しながら解決の方向に見通しを立てることができるようになったと思われる。そして、分類した問題と解決方法の対応を検討する学習によって、生徒は、同じような問題に見えても、解決方法が必ずしも同じではないことがわかり、解決のための既習事項を選択し、考えを進めていくことができるようになったと思われる。これらのことから、作成した問題を班で検討する活動を取り入れた学習活動は数学的な思考力を高めることに効果があった。
イ 数学科における数学的な思考力の構成要素ごとの高まりの状況
(ｱ) 「解決の方向を見通す力」の高まりの状況
【表－５】から解決の方向を見通す力の高まりの状況は、学級全体でｔ検定の結果、有意差が認められた。
これは、例題から問題をつくる学習で、既習の知識や考え方を整理し、いろいろな観点から問題の構造を考えさせたことと、作成した問題を班で分類する学習で、自分や友だちのつくった問題をいろいろな観点で分類させたことによって、問題の構造を把握し、問題解決の方向をとらえさせたことによるものと思われる。このような学習活動により、解決の方向を見通す力が高まった。
(ｲ) 「解決の方法を追究する力」の高まりの状況
【表－６】から解決の方法を追究する力の高まりの状況は、学級全体でｔ検定の結果、有意差が認められた。
これは、分類した問題と解決方法の対応を検討する学習で、どのような根拠からこのような解決方法を考えたのか、解けない問題はどうして解けないのかを検討させることによって、自分の考え方を整理させたことによるものと思われる。このような学習活動により、生徒は自分なりの考え方と他の生徒の異なる考え方を比較し、よりよく考えを進めるようになり解決の方法を追究する力が高まった。
(2) 学習単元の習得状況
【表－７】から単元テストの学級全体の結果をみると有効度指数は95であった。
また、上位群の有効度指数は95、下位群の有効度指数は94で上位群、下位群ともに単元の習得状況は良好であったと考える。本単元で、作成した問題を班で検討する活動を行うことは学習内容の習得をすることに有効にはたらいた。
(3) 学習に関する意識の変容状況
ア 数学の学習に関する意識
【表－８】から、χ２検定（変化の検定）の結果、全ての設問において有意差が認められた。
設問①と③で有意差が認められたのは、作成した問題を班で検討する活動をとおして、一つの問題に対していろいろな見方ができることがわかり、数学の問題を解いてみたい、みんなと一緒に考えながら問題を解いてみたいという意欲が高まったためと考える。
設問②で有意差が認められたのは、一つの問題に対して公式が一つあり、それらを全て覚えようとしていた生徒たちが、問題を解くだけでなく、問題の構造を考えて解決方法を進めていくことをとおして、数学で学ぶ公式や考え方などは意義があるととらえたものと考える。
また、設問④で有意差が認められたのは、分類した問題と解決方法の対応を検討する学習において、問題を解決するには既習の知識や考え方などを用いる必要性を感じとったためと考えられる。
イ 数学的な思考に関する意識
【表－９】から、数学的な思考に関する意識については、χ２検定の結果、全ての設問で有意差が認められた。
有意差が認められたのは、作成した問題を班で検討する活動により自分と違う考え方で解くための条件をみつけるという見方にふれて、解き方には、多様な考え方があるということを感じたためと考える。また、設問⑥では、問題にはいろいろな見方や考え方があるということがわかり、一つの方法で解けなくても、別の方法で解けるのではないかと考えられるようになったためと思われる。しかし、マイナスのまま変容のなかった生徒が４名いる。これは、問題にはいろいろな見方や考え方があるということを考えられるようにはなったものの、それを、解決方法にまで考えさせる指導が不十分だったためと思われる。今後は、授業における発問や教師のかかわり方などについての工夫が必要と思われる。
ウ 作成した問題を班で検討する活動を取り入れた学習に関する意識
【表－10】から、作成した問題を班で検討する活動を取り入れた学習に関する意識については、設問⑧、設問⑨ともに100％の生徒が肯定的な反応を示している。このことから生徒は、作成した問題を班で検討する活動を取り入れた学習に対して有用性を感じていることがわかる。
また、【表－11】から全体として好意的な記述が多いことがわかる。
その中でも「理解」や、「見方についてのよさ」に関する記述が多かった。これは、班で問題の分類や解決方法の検討などを話し合うことで、生徒は問題解決の方向にはいろいろな考え方があるということを理解し、わからない問題もみんなで意見を出し合い、考えを練り合わせ、解決方法の追究に取り組むことができたことによるものと思われる。
しかし、好意的でない記述として、どのグループに問題を分類すればよいか考えるのが難しいなどの記述があった。これは、生徒の発想を第一に考えたために、どこまでの内容で分類すればよいかをわかりやすく伝えることができなかったことによるものと思われる。
今後は、授業における発問や教師のかかわり方などについての工夫が必要と思われる。
以上のことから、生徒は作成した問題を班で検討する活動を取り入れた学習をすることに対しては有用感をもったものと考える。
５ 高等学校数学科における数学的な思考力を高める学習指導の在り方についてのまとめ
これまで、指導試案に基づき数学Ⅱの単元「微分法」の授業実践を行い、実践結果の分析と考察をとおして、指導試案の妥当性を検討してきた。そこで、高等学校数学科における数学的な思考力を高める学習指導について、「成果として考えられること」と「課題として考えられること」の二点について示すことにする。
(1) 成果として考えられること
ア 例題から問題を作成することを取り入れることにより、生徒は問題の構造を把握しながら学習することができるようになること イ 作成した問題を班で分類することを取り入れることにより、生徒は、問題の構造、解決の方向、解決のための既習事項の選択などいろいろな観点で話し合いができるようになること ウ 分類した問題と解決方法の対応を検討することを取り入れることにより、解決のための既習事項を選択し、考えを進めていくことができるようになること
(2) 課題として考えられること
ア 作成された問題のよさを、一人一人に考えさせて、反映させるような工夫が必要であること イ 問題の解決方法の多様性を実感できるような話し合い活動に関して有用感をもてない生徒がいること
以上のことから、課題を改善するためには、さらに工夫が必要であるが、学習をまとめる段階で、作成した問題を班で検討する活動を行うことは、数学的な思考力を高めるうえで有効であると考える。
Ⅴ 研究のまとめと今後の課題
１ 研究のまとめ
この研究は、高等学校数学科の学習指導において、作成した問題を班で検討する活動をとおして、数学的な思考力を高める学習指導について明らかにし、学習指導の改善に役立てようとするものである。
そのために、高等学校数学科における数学的な思考力を高める学習指導についての基本構想を立案した。そして、指導試案に基づく授業実践を行い、高等学校数学科における数学的な思考力を高める学習指導についてまとめた結果、成果として得られたことは、次のことである。
(1) 高等学校数学科における数学的な思考力を高める学習指導についての基本構想の立案 高等学校数学科における数学的な思考力を高めることについての意義と作成した問題を班で検討する活動の意義を明らかにし、数学的な思考力を高める学習指導についての基本的な考え方をまとめ、基本構想を立案することができた。 (2) 高等学校数学科における数学的な思考力を高める学習指導についての指導試案の作成 実態調査の分析から明らかになった課題を解消するために、次のような工夫を取り入れた指導試案を作成することができた。
ア 「つかむ」「見通す」「確かめる」段階では、場面に応じて、ペアなどで話し合わせる学習の工夫 イ 安心して話し合いができるような班をつくる工夫 ウ 既習の知識や考え方を確認しながら学習を行う工夫 (3) 数学Ⅱにおける単元「微分法」の学習指導案の作成 指導試案に基づき、指導展開を示した指導計画を作成し、その手順にしたがって「微分法」における学習指導案を作成することができた。 (4) 数学Ⅱにおける単元「微分法」の授業実践 指導試案に基づいた授業実践により、作成した問題を班で検討する活動を取り入れた学習指導案が、生徒の数学的な思考力を高めるうえで効果があるという見通しをもつことができた。
作成した問題を班で検討する活動をとおして、自分たちの考えや話し合いをもとに、問題にはいろいろな考え方があることを理解しながら、問題解決の方向をとらえ、解決に必要な既習事項を選択し、考えを進めていくことができるようになってきたことが確認された。(5) 実践結果の分析と考察 実践結果の分析と考察では、「数学的な思考力の高まりの状況」「学習単元の習得状況」「学習に関する意識」において、学級全体の変容状況について分析できた。 (6) 高等学校数学科における数学的な思考力を高める学習指導の在り方についてのまとめ 高等学校数学科における数学的な思考力を高める学習指導の在り方について、学習指導過程のまとめる段階における、作成した問題を班で検討する活動をとおして、成果と課題を明らかにすることができた。
２ 今後の課題
この研究では、高等学校数学科の学習指導において、数学的な思考力を高める学習指導について、作成した問題を班で検討する活動をとおして実践的に明らかにすることができた。
今後は、作成した問題を班で検討する活動において、問題解決処理の方法を加え、数学的な思考力を高める指導が、より効果的にはたらくように改善していきたい。また、他の単元においても、指導試案が有効に活用できるように検討、改善を加えていきたい。
【主な参考文献】
山田預喜、吉川健次 「自己教育力を育てる学習指導に関する研究 －数学科における問題解決力を高める指導－」 岩手県立総合教育センター 1987年
秋田県立教育センター 「学力を高める教科指導の在り方」 秋田県立教育センター 1994年
澤田利夫、坂井裕 編著 「中学校数学科〔課題学習〕問題づくりの授業」 東洋館出版社 1995年
清水静海監修、静岡県湖西市立岡崎小学校著 「算数のよさを追求する授業」
見通し・操作・一般化 東洋館出版社 1994年
竹内芳男、沢田利夫編著 「問題から問題へ 問題の発展的な扱いによる算数・数学科の授業改善」 東洋館出版社 1984年
